We match each item in List I with the correct value in List II.
1. Item P P P
We need to evaluate
( 1 y 2 ( cos ( tan − 1 y ) + y sin ( tan − 1 y ) cot ( sin − 1 y ) + tan ( sin − 1 y ) ) 2 + y 4 ) 1 / 2 \left( \frac{1}{y^2}\left(\frac{\cos(\tan^{-1}y)+y\sin(\tan^{-1}y)}{\cot(\sin^{-1}y)+\tan(\sin^{-1}y)}\right)^2+y^4\right)^{1/2} ( y 2 1 ( cot ( sin − 1 y ) + tan ( sin − 1 y ) cos ( tan − 1 y ) + y sin ( tan − 1 y ) ) 2 + y 4 ) 1/2 Let
θ = tan − 1 y ⟹ tan θ = y \theta=\tan^{-1}y \implies \tan\theta=y θ = tan − 1 y ⟹ tan θ = y
cos ( tan − 1 y ) = 1 1 + y 2 , sin ( tan − 1 y ) = y 1 + y 2 \cos(\tan^{-1}y)=\frac{1}{\sqrt{1+y^2}},\qquad
\sin(\tan^{-1}y)=\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} cos ( tan − 1 y ) = 1 + y 2 1 , sin ( tan − 1 y ) = 1 + y 2 y Hence,
cos ( tan − 1 y ) + y sin ( tan − 1 y ) = 1 1 + y 2 + y ⋅ y 1 + y 2 = 1 + y 2 1 + y 2 = 1 + y 2 \cos(\tan^{-1}y)+y\sin(\tan^{-1}y)
=\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+y\cdot \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}
=\frac{1+y^2}{\sqrt{1+y^2}}=\sqrt{1+y^2} cos ( tan − 1 y ) + y sin ( tan − 1 y ) = 1 + y 2 1 + y ⋅ 1 + y 2 y = 1 + y 2 1 + y 2 = 1 + y 2 Now let
ϕ = sin − 1 y ⟹ sin ϕ = y , cos ϕ = 1 − y 2 \phi=\sin^{-1}y \implies \sin\phi=y,\quad \cos\phi=\sqrt{1-y^2} ϕ = sin − 1 y ⟹ sin ϕ = y , cos ϕ = 1 − y 2
cot ( sin − 1 y ) = 1 − y 2 y , tan ( sin − 1 y ) = y 1 − y 2 \cot(\sin^{-1}y)=\frac{\sqrt{1-y^2}}{y},
\qquad
\tan(\sin^{-1}y)=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} cot ( sin − 1 y ) = y 1 − y 2 , tan ( sin − 1 y ) = 1 − y 2 y So,
cot ( sin − 1 y ) + tan ( sin − 1 y ) = 1 − y 2 y + y 1 − y 2 = 1 y 1 − y 2 \cot(\sin^{-1}y)+\tan(\sin^{-1}y)
=\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}
=\frac{1}{y\sqrt{1-y^2}} cot ( sin − 1 y ) + tan ( sin − 1 y ) = y 1 − y 2 + 1 − y 2 y = y 1 − y 2 1 Therefore,
cos ( tan − 1 y ) + y sin ( tan − 1 y ) cot ( sin − 1 y ) + tan ( sin − 1 y ) = 1 + y 2 ⋅ y 1 − y 2 = y 1 − y 4 \frac{\cos(\tan^{-1}y)+y\sin(\tan^{-1}y)}{\cot(\sin^{-1}y)+\tan(\sin^{-1}y)}
=\sqrt{1+y^2}\cdot y\sqrt{1-y^2}
=y\sqrt{1-y^4} cot ( sin − 1 y ) + tan ( sin − 1 y ) cos ( tan − 1 y ) + y sin ( tan − 1 y ) = 1 + y 2 ⋅ y 1 − y 2 = y 1 − y 4 Thus,
( 1 y 2 ( y 2 ( 1 − y 4 ) ) + y 4 ) 1 / 2 = ( ( 1 − y 4 ) + y 4 ) 1 / 2 = 1 \left(\frac{1}{y^2}(y^2(1-y^4))+y^4\right)^{1/2}
=\left((1-y^4)+y^4\right)^{1/2}=1 ( y 2 1 ( y 2 ( 1 − y 4 )) + y 4 ) 1/2 = ( ( 1 − y 4 ) + y 4 ) 1/2 = 1 So,
P = 1 P=1 P = 1 4 .
2. Item Q Q Q
Given
cos x + cos y + cos z = 0 , sin x + sin y + sin z = 0 \cos x+\cos y+\cos z=0,
\qquad
\sin x+\sin y+\sin z=0 cos x + cos y + cos z = 0 , sin x + sin y + sin z = 0 This means
e i x + e i y + e i z = 0 e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=0 e i x + e i y + e i z = 0 2 π 3 \frac{2\pi}{3} 3 2 π
Thus one possible relation is
x − y = ± 2 π 3 x-y=\pm \frac{2\pi}{3} x − y = ± 3 2 π
cos x − y 2 = cos π 3 = 1 2 \cos\frac{x-y}{2}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12 cos 2 x − y = cos 3 π = 2 1 So,
Q = 1 2 Q=\frac12 Q = 2 1 3 .
3. Item R R R
Given
cos ( π 4 − x ) cos 2 x + sin x sin 2 x sec x = cos x sin 2 x sec x + cos ( π 4 + x ) cos 2 x \cos\left(\frac\pi4-x\right)\cos2x+\sin x\sin2x\sec x
=\cos x\sin2x\sec x+\cos\left(\frac\pi4+x\right)\cos2x cos ( 4 π − x ) cos 2 x + sin x sin 2 x sec x = cos x sin 2 x sec x + cos ( 4 π + x ) cos 2 x First simplify the middle terms:
sin x sin 2 x sec x = tan x sin 2 x , cos x sin 2 x sec x = sin 2 x \sin x\sin2x\sec x=\tan x\sin2x,
\qquad
\cos x\sin2x\sec x=\sin2x sin x sin 2 x sec x = tan x sin 2 x , cos x sin 2 x sec x = sin 2 x So equation becomes
cos ( π 4 − x ) cos 2 x + tan x sin 2 x = sin 2 x + cos ( π 4 + x ) cos 2 x \cos\left(\frac\pi4-x\right)\cos2x+\tan x\sin2x
=\sin2x+\cos\left(\frac\pi4+x\right)\cos2x cos ( 4 π − x ) cos 2 x + tan x sin 2 x = sin 2 x + cos ( 4 π + x ) cos 2 x Bring terms together:
[ cos ( π 4 − x ) − cos ( π 4 + x ) ] cos 2 x = sin 2 x ( 1 − tan x ) \left[\cos\left(\frac\pi4-x\right)-\cos\left(\frac\pi4+x\right)\right]\cos2x
=\sin2x(1-\tan x) [ cos ( 4 π − x ) − cos ( 4 π + x ) ] cos 2 x = sin 2 x ( 1 − tan x ) Use identity
cos ( A − B ) − cos ( A + B ) = 2 sin A sin B \cos(A-B)-\cos(A+B)=2\sin A\sin B cos ( A − B ) − cos ( A + B ) = 2 sin A sin B with A = π 4 A=\frac\pi4 A = 4 π B = x B=x B = x
cos ( π 4 − x ) − cos ( π 4 + x ) = 2 sin π 4 sin x = 2 sin x \cos\left(\frac\pi4-x\right)-\cos\left(\frac\pi4+x\right)
=2\sin\frac\pi4\sin x=\sqrt2\sin x cos ( 4 π − x ) − cos ( 4 π + x ) = 2 sin 4 π sin x = 2 sin x Hence,
2 sin x cos 2 x = sin 2 x ( 1 − tan x ) \sqrt2\sin x\cos2x=\sin2x(1-\tan x) 2 sin x cos 2 x = sin 2 x ( 1 − tan x ) Now
sin 2 x = 2 sin x cos x \sin2x=2\sin x\cos x sin 2 x = 2 sin x cos x So
2 sin x cos 2 x = 2 sin x cos x ( 1 − tan x ) \sqrt2\sin x\cos2x=2\sin x\cos x(1-\tan x) 2 sin x cos 2 x = 2 sin x cos x ( 1 − tan x ) For sin x ≠ 0 \sin x\neq 0 sin x = 0 sin x \sin x sin x
2 cos 2 x = 2 cos x ( 1 − tan x ) \sqrt2\cos2x=2\cos x(1-\tan x) 2 cos 2 x = 2 cos x ( 1 − tan x ) Now,
2 cos x ( 1 − tan x ) = 2 cos x ( 1 − sin x cos x ) = 2 ( cos x − sin x ) 2\cos x(1-\tan x)=2\cos x\left(1-\frac{\sin x}{\cos x}\right)=2(\cos x-\sin x) 2 cos x ( 1 − tan x ) = 2 cos x ( 1 − cos x sin x ) = 2 ( cos x − sin x ) Thus,
2 cos 2 x = 2 ( cos x − sin x ) \sqrt2\cos2x=2(\cos x-\sin x) 2 cos 2 x = 2 ( cos x − sin x ) Use
cos x − sin x = 2 cos ( x + π 4 ) \cos x-\sin x=\sqrt2\cos\left(x+\frac\pi4\right) cos x − sin x = 2 cos ( x + 4 π ) Also
cos 2 x = ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) \cos2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x) cos 2 x = ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) So equation gives
2 ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) = 2 ( cos x − sin x ) \sqrt2(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=2(\cos x-\sin x) 2 ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) = 2 ( cos x − sin x ) Hence either:
Case 1:
cos x − sin x = 0 ⟹ tan x = 1 \cos x-\sin x=0 \implies \tan x=1 cos x − sin x = 0 ⟹ tan x = 1 sec x = ± 2 \sec x=\pm \sqrt2 sec x = ± 2 2 \sqrt2 2
Case 2:
2 ( cos x + sin x ) = 2 ⟹ cos x + sin x = 2 \sqrt2(\cos x+\sin x)=2
\implies \cos x+\sin x=\sqrt2 2 ( cos x + sin x ) = 2 ⟹ cos x + sin x = 2 This gives x = π 4 + 2 n π x=\frac\pi4+2n\pi x = 4 π + 2 nπ
So possible value is
R = 2 R=\sqrt2 R = 2 2 .
4. Item S S S
Given
cot ( sin − 1 1 − x 2 ) = sin ( tan − 1 ( x 6 ) ) , x ≠ 0 \cot\left(\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}\right)=\sin\left(\tan^{-1}(x\sqrt6)\right), \qquad x\ne 0 cot ( sin − 1 1 − x 2 ) = sin ( tan − 1 ( x 6 ) ) , x = 0 We simplify both sides.
Let
θ = sin − 1 1 − x 2 \theta=\sin^{-1}\sqrt{1-x^2} θ = sin − 1 1 − x 2
sin θ = 1 − x 2 , cos θ = ∣ x ∣ \sin\theta=\sqrt{1-x^2},\qquad \cos\theta=|x| sin θ = 1 − x 2 , cos θ = ∣ x ∣ Therefore,
cot θ = ∣ x ∣ 1 − x 2 \cot\theta=\frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}} cot θ = 1 − x 2 ∣ x ∣ So LHS is
∣ x ∣ 1 − x 2 \frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}} 1 − x 2 ∣ x ∣ Now let
Then
sin ϕ = x 6 1 + 6 x 2 \sin\phi=\frac{x\sqrt6}{\sqrt{1+6x^2}} sin ϕ = 1 + 6 x 2 x 6 So equation becomes
∣ x ∣ 1 − x 2 = x 6 1 + 6 x 2 \frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x\sqrt6}{\sqrt{1+6x^2}} 1 − x 2 ∣ x ∣ = 1 + 6 x 2 x 6 Since LHS is nonnegative, RHS must be nonnegative, so x > 0 x>0 x > 0 ∣ x ∣ = x |x|=x ∣ x ∣ = x
x 1 − x 2 = x 6 1 + 6 x 2 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x\sqrt6}{\sqrt{1+6x^2}} 1 − x 2 x = 1 + 6 x 2 x 6 Given x ≠ 0 x\ne 0 x = 0 x x x
1 1 − x 2 = 6 1 + 6 x 2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt6}{\sqrt{1+6x^2}} 1 − x 2 1 = 1 + 6 x 2 6 Square both sides:
1 1 − x 2 = 6 1 + 6 x 2 \frac{1}{1-x^2}=\frac{6}{1+6x^2} 1 − x 2 1 = 1 + 6 x 2 6 Cross-multiply:
1 + 6 x 2 = 6 − 6 x 2 1+6x^2=6-6x^2 1 + 6 x 2 = 6 − 6 x 2 12 x 2 = 5 12x^2=5 12 x 2 = 5 x 2 = 5 12 x^2=\frac{5}{12} x 2 = 12 5 Since x > 0 x>0 x > 0
x = 1 2 5 3 x=\frac12\sqrt{\frac53} x = 2 1 3 5 So,
S = 1 2 5 3 S=\frac12\sqrt{\frac53} S = 2 1 3 5 1 .
Final matching
Thus,
P → 4 P \to 4 P → 4 Q → 3 Q \to 3 Q → 3 R → 2 R \to 2 R → 2 S → 1 S \to 1 S → 1
This matches Option B .
Comparison with stored answer
Stored correct answer: B
Our derived answer: B
So the stored answer is correct.