Given vectors
a ⃗ = i ^ + j ^ + 2 k ^ = ( 1 , 1 , 2 ) , b ⃗ = − i ^ + 2 j ^ + 3 k ^ = ( − 1 , 2 , 3 ) \vec a=\hat i+\hat j+2\hat k=(1,1,2),\qquad \vec b=-\hat i+2\hat j+3\hat k=(-1,2,3) a = i ^ + j ^ + 2 k ^ = ( 1 , 1 , 2 ) , b = − i ^ + 2 j ^ + 3 k ^ = ( − 1 , 2 , 3 )
We need to compute
( a ⃗ + b ⃗ ) × ( ( a ⃗ × ( ( a ⃗ − b ⃗ ) × b ⃗ ) ) × b ⃗ ) . (\vec a+\vec b)\times \left(\left(\vec a\times \big((\vec a-\vec b)\times \vec b\big)\right)\times \vec b\right). ( a + b ) × ( ( a × ( ( a − b ) × b ) ) × b ) .
First compute a ⃗ − b ⃗ \vec a-\vec b a − b a ⃗ + b ⃗ \vec a+\vec b a + b
a ⃗ − b ⃗ = ( 1 − ( − 1 ) , 1 − 2 , 2 − 3 ) = ( 2 , − 1 , − 1 ) \vec a-\vec b=(1-(-1),1-2,2-3)=(2,-1,-1) a − b = ( 1 − ( − 1 ) , 1 − 2 , 2 − 3 ) = ( 2 , − 1 , − 1 )
a ⃗ + b ⃗ = ( 1 + ( − 1 ) , 1 + 2 , 2 + 3 ) = ( 0 , 3 , 5 ) \vec a+\vec b=(1+(-1),1+2,2+3)=(0,3,5) a + b = ( 1 + ( − 1 ) , 1 + 2 , 2 + 3 ) = ( 0 , 3 , 5 )
Compute ( a ⃗ − b ⃗ ) × b ⃗ (\vec a-\vec b)\times \vec b ( a − b ) × b
( 2 , − 1 , − 1 ) × ( − 1 , 2 , 3 ) = ∣ i ^ j ^ k ^ 2 − 1 − 1 − 1 2 3 ∣ (2,-1,-1)\times(-1,2,3)
=\begin{vmatrix}
\hat i&\hat j&\hat k\\
2&-1&-1\\
-1&2&3
\end{vmatrix} ( 2 , − 1 , − 1 ) × ( − 1 , 2 , 3 ) = i ^ 2 − 1 j ^ − 1 2 k ^ − 1 3 = i ^ ( ( − 1 ) ( 3 ) − ( − 1 ) ( 2 ) ) − j ^ ( 2 ( 3 ) − ( − 1 ) ( − 1 ) ) + k ^ ( 2 ( 2 ) − ( − 1 ) ( − 1 ) ) =\hat i\big((-1)(3)-(-1)(2)\big)-\hat j\big(2(3)-(-1)(-1)\big)+\hat k\big(2(2)-(-1)(-1)\big) = i ^ ( ( − 1 ) ( 3 ) − ( − 1 ) ( 2 ) ) − j ^ ( 2 ( 3 ) − ( − 1 ) ( − 1 ) ) + k ^ ( 2 ( 2 ) − ( − 1 ) ( − 1 ) ) = i ^ ( − 3 + 2 ) − j ^ ( 6 − 1 ) + k ^ ( 4 − 1 ) = − i ^ − 5 j ^ + 3 k ^ =\hat i(-3+2)-\hat j(6-1)+\hat k(4-1)
=-\hat i-5\hat j+3\hat k = i ^ ( − 3 + 2 ) − j ^ ( 6 − 1 ) + k ^ ( 4 − 1 ) = − i ^ − 5 j ^ + 3 k ^ So,
( a ⃗ − b ⃗ ) × b ⃗ = ( − 1 , − 5 , 3 ) . (\vec a-\vec b)\times \vec b =(-1,-5,3). ( a − b ) × b = ( − 1 , − 5 , 3 ) .
Compute a ⃗ × ( ( a ⃗ − b ⃗ ) × b ⃗ ) \vec a\times\big((\vec a-\vec b)\times\vec b\big) a × ( ( a − b ) × b )
( 1 , 1 , 2 ) × ( − 1 , − 5 , 3 ) = ∣ i ^ j ^ k ^ 1 1 2 − 1 − 5 3 ∣ (1,1,2)\times(-1,-5,3)
=\begin{vmatrix}
\hat i&\hat j&\hat k\\
1&1&2\\
-1&-5&3
\end{vmatrix} ( 1 , 1 , 2 ) × ( − 1 , − 5 , 3 ) = i ^ 1 − 1 j ^ 1 − 5 k ^ 2 3 = i ^ ( 1 ⋅ 3 − 2 ⋅ ( − 5 ) ) − j ^ ( 1 ⋅ 3 − 2 ⋅ ( − 1 ) ) + k ^ ( 1 ⋅ ( − 5 ) − 1 ⋅ ( − 1 ) ) =\hat i(1\cdot 3-2\cdot(-5)) - \hat j(1\cdot 3-2\cdot(-1)) + \hat k(1\cdot(-5)-1\cdot(-1)) = i ^ ( 1 ⋅ 3 − 2 ⋅ ( − 5 )) − j ^ ( 1 ⋅ 3 − 2 ⋅ ( − 1 )) + k ^ ( 1 ⋅ ( − 5 ) − 1 ⋅ ( − 1 )) = i ^ ( 3 + 10 ) − j ^ ( 3 + 2 ) + k ^ ( − 5 + 1 ) = 13 i ^ − 5 j ^ − 4 k ^ =\hat i(3+10)-\hat j(3+2)+\hat k(-5+1)
=13\hat i-5\hat j-4\hat k = i ^ ( 3 + 10 ) − j ^ ( 3 + 2 ) + k ^ ( − 5 + 1 ) = 13 i ^ − 5 j ^ − 4 k ^ Thus,
a ⃗ × ( ( a ⃗ − b ⃗ ) × b ⃗ ) = ( 13 , − 5 , − 4 ) . \vec a\times((\vec a-\vec b)\times\vec b)=(13,-5,-4). a × (( a − b ) × b ) = ( 13 , − 5 , − 4 ) .
Compute ( a ⃗ × ( ( a ⃗ − b ⃗ ) × b ⃗ ) ) × b ⃗ \left(\vec a\times((\vec a-\vec b)\times\vec b)\right)\times\vec b ( a × (( a − b ) × b ) ) × b
( 13 , − 5 , − 4 ) × ( − 1 , 2 , 3 ) = ∣ i ^ j ^ k ^ 13 − 5 − 4 − 1 2 3 ∣ (13,-5,-4)\times(-1,2,3)
=\begin{vmatrix}
\hat i&\hat j&\hat k\\
13&-5&-4\\
-1&2&3
\end{vmatrix} ( 13 , − 5 , − 4 ) × ( − 1 , 2 , 3 ) = i ^ 13 − 1 j ^ − 5 2 k ^ − 4 3 = i ^ ( ( − 5 ) ( 3 ) − ( − 4 ) ( 2 ) ) − j ^ ( 13 ⋅ 3 − ( − 4 ) ( − 1 ) ) + k ^ ( 13 ⋅ 2 − ( − 5 ) ( − 1 ) ) =\hat i\big((-5)(3)-(-4)(2)\big)-\hat j\big(13\cdot 3-(-4)(-1)\big)+\hat k\big(13\cdot 2-(-5)(-1)\big) = i ^ ( ( − 5 ) ( 3 ) − ( − 4 ) ( 2 ) ) − j ^ ( 13 ⋅ 3 − ( − 4 ) ( − 1 ) ) + k ^ ( 13 ⋅ 2 − ( − 5 ) ( − 1 ) ) = i ^ ( − 15 + 8 ) − j ^ ( 39 − 4 ) + k ^ ( 26 − 5 ) = − 7 i ^ − 35 j ^ + 21 k ^ =\hat i(-15+8)-\hat j(39-4)+\hat k(26-5)
=-7\hat i-35\hat j+21\hat k = i ^ ( − 15 + 8 ) − j ^ ( 39 − 4 ) + k ^ ( 26 − 5 ) = − 7 i ^ − 35 j ^ + 21 k ^ So,
( a ⃗ × ( ( a ⃗ − b ⃗ ) × b ⃗ ) ) × b ⃗ = ( − 7 , − 35 , 21 ) . \left(\vec a\times((\vec a-\vec b)\times\vec b)\right)\times\vec b=(-7,-35,21). ( a × (( a − b ) × b ) ) × b = ( − 7 , − 35 , 21 ) .
Now compute the final cross product
We need
( a ⃗ + b ⃗ ) × ( ( a ⃗ × ( ( a ⃗ − b ⃗ ) × b ⃗ ) ) × b ⃗ ) = ( 0 , 3 , 5 ) × ( − 7 , − 35 , 21 ) (\vec a+\vec b)\times \left(\left(\vec a\times((\vec a-\vec b)\times\vec b)\right)\times\vec b\right)
=(0,3,5)\times(-7,-35,21) ( a + b ) × ( ( a × (( a − b ) × b ) ) × b ) = ( 0 , 3 , 5 ) × ( − 7 , − 35 , 21 ) = ∣ i ^ j ^ k ^ 0 3 5 − 7 − 35 21 ∣ =\begin{vmatrix}
\hat i&\hat j&\hat k\\
0&3&5\\
-7&-35&21
\end{vmatrix} = i ^ 0 − 7 j ^ 3 − 35 k ^ 5 21 = i ^ ( 3 ⋅ 21 − 5 ⋅ ( − 35 ) ) − j ^ ( 0 ⋅ 21 − 5 ⋅ ( − 7 ) ) + k ^ ( 0 ⋅ ( − 35 ) − 3 ⋅ ( − 7 ) ) =\hat i(3\cdot 21-5\cdot(-35)) - \hat j(0\cdot 21-5\cdot(-7)) + \hat k(0\cdot(-35)-3\cdot(-7)) = i ^ ( 3 ⋅ 21 − 5 ⋅ ( − 35 )) − j ^ ( 0 ⋅ 21 − 5 ⋅ ( − 7 )) + k ^ ( 0 ⋅ ( − 35 ) − 3 ⋅ ( − 7 )) = i ^ ( 63 + 175 ) − j ^ ( 35 ) + k ^ ( 21 ) = 238 i ^ − 35 j ^ + 21 k ^ =\hat i(63+175)-\hat j(35)+\hat k(21)
=238\hat i-35\hat j+21\hat k = i ^ ( 63 + 175 ) − j ^ ( 35 ) + k ^ ( 21 ) = 238 i ^ − 35 j ^ + 21 k ^ Factorizing:
238 i ^ − 35 j ^ + 21 k ^ = 7 ( 34 i ^ − 5 j ^ + 3 k ^ ) 238\hat i-35\hat j+21\hat k = 7(34\hat i-5\hat j+3\hat k) 238 i ^ − 35 j ^ + 21 k ^ = 7 ( 34 i ^ − 5 j ^ + 3 k ^ )
Compare with options
A: 5 ( 34 i ^ − 5 j ^ + 3 k ^ ) 5(34\hat i-5\hat j+3\hat k) 5 ( 34 i ^ − 5 j ^ + 3 k ^ ) B: 7 ( 34 i ^ − 5 j ^ + 3 k ^ ) 7(34\hat i-5\hat j+3\hat k) 7 ( 34 i ^ − 5 j ^ + 3 k ^ ) C: 7 ( 30 i ^ − 5 j ^ + 7 k ^ ) 7(30\hat i-5\hat j+7\hat k) 7 ( 30 i ^ − 5 j ^ + 7 k ^ ) D: 5 ( 30 i ^ − 5 j ^ + 7 k ^ ) 5(30\hat i-5\hat j+7\hat k) 5 ( 30 i ^ − 5 j ^ + 7 k ^ )
Hence the correct option is
B \boxed{\text{B}} B
with vector
7 ( 34 i ^ − 5 j ^ + 3 k ^ ) . \boxed{7(34\hat i-5\hat j+3\hat k)}. 7 ( 34 i ^ − 5 j ^ + 3 k ^ ) .