Since $\vec a, \vec b, \vec c$ are unit vectors, $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1.$

Use the identity $|\vec x-\vec y|^2=|\vec x|^2+|\vec y|^2-2\vec x\cdot \vec y.$ Therefore, $|\vec a-\vec b|^2=1+1-2\vec a\cdot\vec b=2-2\vec a\cdot\vec b,$ $|\vec a-\vec c|^2=1+1-2\vec a\cdot\vec c=2-2\vec a\cdot\vec c.$

Given $|\vec a-\vec b|^2+|\vec a-\vec c|^2=8,$ so $(2-2\vec a\cdot\vec b)+(2-2\vec a\cdot\vec c)=8.$ Hence, $4-2(\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c)=8,$ $\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c=-2.$

Now compute the required expression. Using $|\vec x+2\vec y|^2=|\vec x|^2+4|\vec y|^2+4\vec x\cdot\vec y,$ we get $|\vec a+2\vec b|^2=|\vec a|^2+4|\vec b|^2+4\vec a\cdot\vec b=1+4+4\vec a\cdot\vec b=5+4\vec a\cdot\vec b,$ $|\vec a+2\vec c|^2=|\vec a|^2+4|\vec c|^2+4\vec a\cdot\vec c=1+4+4\vec a\cdot\vec c=5+4\vec a\cdot\vec c.$

Adding, $|\vec a+2\vec b|^2+|\vec a+2\vec c|^2=(5+4\vec a\cdot\vec b)+(5+4\vec a\cdot\vec c).$ $=10+4(\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c).$ Using $\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c=-2$, $=10+4(-2)=10-8=2.$

Therefore, the required integer is $\boxed{2}.$