1. Given vectors

$\vec a=\hat i+2\hat j+\hat k=(1,2,1), \qquad \vec b=3(\hat i-\hat j+\hat k)=(3,-3,3)$

We are also given

$\vec a\times \vec c=\vec b, \qquad \vec a\cdot \vec c=3.$

We need to find

$\vec a\cdot\big((\vec c\times \vec b)-\vec b-\vec c\big).$

2. Break the required expression

Using distributivity of dot product,

$\vec a\cdot\big((\vec c\times \vec b)-\vec b-\vec c\big)=\vec a\cdot(\vec c\times \vec b)-\vec a\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec c.$

So we compute these three terms one by one.

3. Compute $\vec a\cdot\vec b$

$\vec a\cdot\vec b=(1,2,1)\cdot(3,-3,3)=1\cdot 3+2\cdot(-3)+1\cdot 3=3-6+3=0.$

Hence,

$\vec a\cdot\vec b=0.$

Also given,

$\vec a\cdot\vec c=3.$

4. Compute $\vec a\cdot(\vec c\times\vec b)$

Use scalar triple product identity:

$\vec a\cdot(\vec c\times\vec b)=\vec c\cdot(\vec b\times\vec a).$

Since $\vec b=\vec a\times\vec c$, we can write

$\vec a\cdot(\vec c\times\vec b)=\vec a\cdot\big(\vec c\times(\vec a\times\vec c)\big).$

Now use the vector triple product identity:

$\vec x\times(\vec y\times\vec z)=\vec y(\vec x\cdot\vec z)-\vec z(\vec x\cdot\vec y).$

With $\vec x=\vec c,\ \vec y=\vec a,\ \vec z=\vec c$,

$\vec c\times(\vec a\times\vec c)=\vec a(\vec c\cdot\vec c)-\vec c(\vec c\cdot\vec a).$

Therefore,

$\vec a\cdot(\vec c\times\vec b)=\vec a\cdot\left[\vec a(\vec c\cdot\vec c)-\vec c(\vec c\cdot\vec a)\right].$

So,

$\vec a\cdot(\vec c\times\vec b)=(\vec a\cdot\vec a)(\vec c\cdot\vec c)-(\vec a\cdot\vec c)^2.$

Now,

$\vec a\times\vec c=\vec b \implies |\vec a\times\vec c|^2=|\vec b|^2.$

But

$|\vec a\times\vec c|^2=|\vec a|^2|\vec c|^2-(\vec a\cdot\vec c)^2.$

Hence,

$(\vec a\cdot\vec a)(\vec c\cdot\vec c)-(\vec a\cdot\vec c)^2=|\vec b|^2.$

Thus,

$\vec a\cdot(\vec c\times\vec b)=|\vec b|^2.$

Now calculate $|\vec b|^2$:

$|\vec b|^2=3^2+(-3)^2+3^2=9+9+9=27.$

So,

$\vec a\cdot(\vec c\times\vec b)=27.$

5. Substitute into the required expression

$\vec a\cdot\big((\vec c\times\vec b)-\vec b-\vec c\big)=27-0-3=24.$

6. Check options

The value is

$\boxed{24}$

So the correct option is C.