1. Given vectors

   $\overrightarrow{OA}=\vec a, \qquad \overrightarrow{OC}=\vec b, \qquad \overrightarrow{OB}=12\vec a+4\vec b$

   The parallelogram $S$ has adjacent sides $\overrightarrow{OA}=\vec a$ and $\overrightarrow{OC}=\vec b$.

   Hence, $\text{area}(S)=|\vec a\times \vec b|$

2. Area of quadrilateral $OABC$

   The vertices are: $O=(\vec 0),\quad A=\vec a,\quad B=12\vec a+4\vec b,\quad C=\vec b$

   Split quadrilateral $OABC$ into two triangles:

   • $\triangle OAB$
   • $\triangle OBC$

   So, $\text{area}(OABC)=\text{area}(\triangle OAB)+\text{area}(\triangle OBC)$

3. Area of $\triangle OAB$

   $\text{area}(\triangle OAB)=\frac12|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}|$

   $=\frac12|\vec a\times (12\vec a+4\vec b)|$

   Using $\vec a\times \vec a=0$, $\vec a\times (12\vec a+4\vec b)=12(\vec a\times \vec a)+4(\vec a\times \vec b)=4(\vec a\times \vec b)$

   Therefore, $\text{area}(\triangle OAB)=\frac12\cdot 4|\vec a\times \vec b|=2|\vec a\times \vec b|$

4. Area of $\triangle OBC$

   $\text{area}(\triangle OBC)=\frac12|\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC}|$

   $=\frac12|(12\vec a+4\vec b)\times \vec b|$

   Using $\vec b\times \vec b=0$, $(12\vec a+4\vec b)\times \vec b=12(\vec a\times \vec b)+4(\vec b\times \vec b)=12(\vec a\times \vec b)$

   Hence, $\text{area}(\triangle OBC)=\frac12\cdot 12|\vec a\times \vec b|=6|\vec a\times \vec b|$

5. Total area of quadrilateral

   $\text{area}(OABC)=2|\vec a\times \vec b|+6|\vec a\times \vec b|=8|\vec a\times \vec b|$

6. Required ratio

   =\frac{8|\vec a\times \vec b|}{|\vec a\times \vec b|}=8$$

7. Option check

   • A: $7$ ❌
   • B: $6$ ❌
   • C: $8$ ✅
   • D: $10$ ❌

Therefore, the correct answer is Option C.