Let |\veca|=2,|\vecb|=3 and the angle between the vectors \veca and \vecb be \frac\pi4 . Then |(\veca+2 \vecb) \times(2 \veca-3 \vecb)|^2 is equal to :

Vector Algebra PYQ — JEE Main 2023 · 13 Apr · Shift 2 · Q22 with Solution

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Correct answer: D

(\vec a+2\vec b)\times(2\vec a-3\vec b) =\vec a\times(2\vec a-3\vec b)+2\vec b\times(2\vec a-3\vec b).

=2(\vec a\times\vec a)-3(\vec a\times\vec b)+4(\vec b\times\vec a)-6(\vec b\times\vec b).

Since $\vec a\times\vec a=\vec 0, \qquad \vec b\times\vec b=\vec 0, \qquad \vec b\times\vec a=-(\vec a\times\vec b),$ we get

(\vec a+2\vec b)\times(2\vec a-3\vec b) =-3(\vec a\times\vec b)-4(\vec a\times\vec b) =-7(\vec a\times\vec b).

|(\vec a+2\vec b)\times(2\vec a-3\vec b)|^2 =|-7(\vec a\times\vec b)|^2 =49|\vec a\times\vec b|^2.

|\vec a\times\vec b|=|\vec a|\,|\vec b|\sin\theta =2\cdot 3\cdot \sin\frac{\pi}{4} =6\cdot \frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2.

So,

|\vec a\times\vec b|^2=(3\sqrt2)^2=18.

|(\vec a+2\vec b)\times(2\vec a-3\vec b)|^2=49\cdot 18=882.

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Correct answer: D

(\vec a+2\vec b)\times(2\vec a-3\vec b) =\vec a\times(2\vec a-3\vec b)+2\vec b\times(2\vec a-3\vec b).

=2(\vec a\times\vec a)-3(\vec a\times\vec b)+4(\vec b\times\vec a)-6(\vec b\times\vec b).

Since $\vec a\times\vec a=\vec 0, \qquad \vec b\times\vec b=\vec 0, \qquad \vec b\times\vec a=-(\vec a\times\vec b),$ we get

(\vec a+2\vec b)\times(2\vec a-3\vec b) =-3(\vec a\times\vec b)-4(\vec a\times\vec b) =-7(\vec a\times\vec b).

|(\vec a+2\vec b)\times(2\vec a-3\vec b)|^2 =|-7(\vec a\times\vec b)|^2 =49|\vec a\times\vec b|^2.

|\vec a\times\vec b|=|\vec a|\,|\vec b|\sin\theta =2\cdot 3\cdot \sin\frac{\pi}{4} =6\cdot \frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2.

So,

|\vec a\times\vec b|^2=(3\sqrt2)^2=18.

|(\vec a+2\vec b)\times(2\vec a-3\vec b)|^2=49\cdot 18=882.