We need to solve
cos − 1 x = π + sin − 1 x + sin − 1 ( 2 x + 1 ) . \cos^{-1}x = \pi + \sin^{-1}x + \sin^{-1}(2x+1). cos − 1 x = π + sin − 1 x + sin − 1 ( 2 x + 1 ) . Let
α = sin − 1 x , β = sin − 1 ( 2 x + 1 ) . \alpha = \sin^{-1}x, \qquad \beta = \sin^{-1}(2x+1). α = sin − 1 x , β = sin − 1 ( 2 x + 1 ) . Then the equation becomes
cos − 1 x = π + α + β . \cos^{-1}x = \pi + \alpha + \beta. cos − 1 x = π + α + β .
First, impose the domain conditions for inverse trigonometric functions:
For sin − 1 x \sin^{-1}x sin − 1 x x ∈ [ − 1 , 1 ] x \in [-1,1] x ∈ [ − 1 , 1 ]
For sin − 1 ( 2 x + 1 ) \sin^{-1}(2x+1) sin − 1 ( 2 x + 1 )
2 x + 1 ∈ [ − 1 , 1 ] ⟹ − 1 ≤ 2 x + 1 ≤ 1. 2x+1 \in [-1,1] \implies -1 \le 2x+1 \le 1. 2 x + 1 ∈ [ − 1 , 1 ] ⟹ − 1 ≤ 2 x + 1 ≤ 1. So,
− 2 ≤ 2 x ≤ 0 ⟹ − 1 ≤ x ≤ 0. -2 \le 2x \le 0 \implies -1 \le x \le 0. − 2 ≤ 2 x ≤ 0 ⟹ − 1 ≤ x ≤ 0. Hence overall,
x ∈ [ − 1 , 0 ] . x \in [-1,0]. x ∈ [ − 1 , 0 ] .
Use the identity valid for x ∈ [ − 1 , 1 ] x \in [-1,1] x ∈ [ − 1 , 1 ]
cos − 1 x = π 2 − sin − 1 x . \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x. cos − 1 x = 2 π − sin − 1 x . Thus,
π 2 − sin − 1 x = π + sin − 1 x + sin − 1 ( 2 x + 1 ) . \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x = \pi + \sin^{-1}x + \sin^{-1}(2x+1). 2 π − sin − 1 x = π + sin − 1 x + sin − 1 ( 2 x + 1 ) . Rearranging,
− π 2 = 2 sin − 1 x + sin − 1 ( 2 x + 1 ) . -\frac{\pi}{2} = 2\sin^{-1}x + \sin^{-1}(2x+1). − 2 π = 2 sin − 1 x + sin − 1 ( 2 x + 1 ) . So we need to solve
2 sin − 1 x + sin − 1 ( 2 x + 1 ) = − π 2 . 2\sin^{-1}x + \sin^{-1}(2x+1) = -\frac{\pi}{2}. 2 sin − 1 x + sin − 1 ( 2 x + 1 ) = − 2 π .
Let
θ = sin − 1 x . \theta = \sin^{-1}x. θ = sin − 1 x . Since x ∈ [ − 1 , 0 ] x \in [-1,0] x ∈ [ − 1 , 0 ]
θ ∈ [ − π 2 , 0 ] . \theta \in \left[-\frac{\pi}{2},0\right]. θ ∈ [ − 2 π , 0 ] . Then x = sin θ x = \sin\theta x = sin θ
2 θ + sin − 1 ( 2 sin θ + 1 ) = − π 2 . 2\theta + \sin^{-1}(2\sin\theta+1) = -\frac{\pi}{2}. 2 θ + sin − 1 ( 2 sin θ + 1 ) = − 2 π . Hence,
sin − 1 ( 2 x + 1 ) = − π 2 − 2 sin − 1 x . \sin^{-1}(2x+1) = -\frac{\pi}{2} - 2\sin^{-1}x. sin − 1 ( 2 x + 1 ) = − 2 π − 2 sin − 1 x . Now note that sin − 1 ( 2 x + 1 ) \sin^{-1}(2x+1) sin − 1 ( 2 x + 1 )
[ − π 2 , π 2 ] . \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. [ − 2 π , 2 π ] . Therefore the right-hand side must also lie in this interval:
− π 2 ≤ − π 2 − 2 sin − 1 x ≤ π 2 . -\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{2} - 2\sin^{-1}x \le \frac{\pi}{2}. − 2 π ≤ − 2 π − 2 sin − 1 x ≤ 2 π . This gives
0 ≤ − 2 sin − 1 x ≤ π . 0 \le -2\sin^{-1}x \le \pi. 0 ≤ − 2 sin − 1 x ≤ π . Since sin − 1 x ∈ [ − π / 2 , 0 ] \sin^{-1}x \in [-\pi/2,0] sin − 1 x ∈ [ − π /2 , 0 ]
Now take sine on both sides:
2 x + 1 = sin ( − π 2 − 2 sin − 1 x ) . 2x+1 = \sin\left(-\frac{\pi}{2} - 2\sin^{-1}x\right). 2 x + 1 = sin ( − 2 π − 2 sin − 1 x ) . Using
sin ( − π 2 − u ) = − cos u , \sin\left(-\frac{\pi}{2}-u\right) = -\cos u, sin ( − 2 π − u ) = − cos u , we get
2 x + 1 = − cos ( 2 sin − 1 x ) . 2x+1 = -\cos\bigl(2\sin^{-1}x\bigr). 2 x + 1 = − cos ( 2 sin − 1 x ) . Now use
cos ( 2 θ ) = 1 − 2 sin 2 θ . \cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta. cos ( 2 θ ) = 1 − 2 sin 2 θ . With θ = sin − 1 x \theta=\sin^{-1}x θ = sin − 1 x
cos ( 2 sin − 1 x ) = 1 − 2 x 2 . \cos(2\sin^{-1}x)=1-2x^2. cos ( 2 sin − 1 x ) = 1 − 2 x 2 . So,
2 x + 1 = − ( 1 − 2 x 2 ) = 2 x 2 − 1. 2x+1 = -(1-2x^2)=2x^2-1. 2 x + 1 = − ( 1 − 2 x 2 ) = 2 x 2 − 1. Thus,
2 x 2 − 2 x − 2 = 0 2x^2-2x-2=0 2 x 2 − 2 x − 2 = 0 x 2 − x − 1 = 0. x^2-x-1=0. x 2 − x − 1 = 0. Hence,
x = 1 ± 5 2 . x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}. x = 2 1 ± 5 .
Apply the domain restriction x ∈ [ − 1 , 0 ] x\in[-1,0] x ∈ [ − 1 , 0 ]
1 + 5 2 > 1 \dfrac{1+\sqrt5}{2}>1 2 1 + 5 > 1 1 − 5 2 ≈ − 0.618 \dfrac{1-\sqrt5}{2}\approx -0.618 2 1 − 5 ≈ − 0.618
So,
S = { 1 − 5 2 } . S=\left\{\frac{1-\sqrt5}{2}\right\}. S = { 2 1 − 5 } .
Compute
( 2 x − 1 ) 2 (2x-1)^2 ( 2 x − 1 ) 2 for x = 1 − 5 2 x=\dfrac{1-\sqrt5}{2} x = 2 1 − 5
2 x − 1 = 2 ⋅ 1 − 5 2 − 1 = ( 1 − 5 ) − 1 = − 5 . 2x-1 = 2\cdot \frac{1-\sqrt5}{2} -1 = (1-\sqrt5)-1 = -\sqrt5. 2 x − 1 = 2 ⋅ 2 1 − 5 − 1 = ( 1 − 5 ) − 1 = − 5 . Therefore,
( 2 x − 1 ) 2 = ( − 5 ) 2 = 5. (2x-1)^2 = (-\sqrt5)^2=5. ( 2 x − 1 ) 2 = ( − 5 ) 2 = 5. Since there is only one element in S S S
∑ x ∈ S ( 2 x − 1 ) 2 = 5. \sum_{x\in S}(2x-1)^2 = 5. x ∈ S ∑ ( 2 x − 1 ) 2 = 5.
Comparison with stored answer:
Derived answer: 5 5 5
Stored correct answer: 5 5 5
They match.