Given differential equation
We have
( 3 y 2 − 5 x 2 ) y d x + 2 x ( x 2 − y 2 ) d y = 0. \left(3y^2-5x^2\right)y\,dx+2x\left(x^2-y^2\right)dy=0. ( 3 y 2 − 5 x 2 ) y d x + 2 x ( x 2 − y 2 ) d y = 0. ( 3 y 3 − 5 x 2 y ) d x + 2 x ( x 2 − y 2 ) d y = 0. \left(3y^3-5x^2y\right)dx+2x(x^2-y^2)dy=0. ( 3 y 3 − 5 x 2 y ) d x + 2 x ( x 2 − y 2 ) d y = 0.
We are given the condition
y ( 1 ) = 1. y(1)=1. y ( 1 ) = 1.
We need to find
∣ ( y ( 2 ) ) 3 − 12 y ( 2 ) ∣ . \left| (y(2))^3-12y(2)\right|. ( y ( 2 ) ) 3 − 12 y ( 2 ) .
Rewrite as a differential equation in homogeneous form
Let us write
d y d x = − ( 3 y 2 − 5 x 2 ) y 2 x ( x 2 − y 2 ) . \frac{dy}{dx}=-\frac{(3y^2-5x^2)y}{2x(x^2-y^2)}. d x d y = − 2 x ( x 2 − y 2 ) ( 3 y 2 − 5 x 2 ) y .
This is homogeneous, since the numerator and denominator are both of degree 3 3 3 x , y x,y x , y
So put
y = v x ⇒ d y d x = v + x d v d x . y=vx \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}. y = v x ⇒ d x d y = v + x d x d v .
Substitute y = v x y=vx y = v x
y 2 = v 2 x 2 y^2=v^2x^2 y 2 = v 2 x 2 y = v x y=vx y = v x
Hence
v + x d v d x = − ( 3 v 2 x 2 − 5 x 2 ) ( v x ) 2 x ( x 2 − v 2 x 2 ) . v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{(3v^2x^2-5x^2)(vx)}{2x(x^2-v^2x^2)}. v + x d x d v = − 2 x ( x 2 − v 2 x 2 ) ( 3 v 2 x 2 − 5 x 2 ) ( v x ) .
Simplify:
v + x d v d x = − x 3 v ( 3 v 2 − 5 ) 2 x 3 ( 1 − v 2 ) = − v ( 3 v 2 − 5 ) 2 ( 1 − v 2 ) . v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{x^3v(3v^2-5)}{2x^3(1-v^2)}=-\frac{v(3v^2-5)}{2(1-v^2)}. v + x d x d v = − 2 x 3 ( 1 − v 2 ) x 3 v ( 3 v 2 − 5 ) = − 2 ( 1 − v 2 ) v ( 3 v 2 − 5 ) .
Therefore,
x d v d x = − v ( 3 v 2 − 5 ) 2 ( 1 − v 2 ) − v . x\frac{dv}{dx}=-\frac{v(3v^2-5)}{2(1-v^2)}-v. x d x d v = − 2 ( 1 − v 2 ) v ( 3 v 2 − 5 ) − v .
Take LCM:
x d v d x = − v ( 3 v 2 − 5 ) − 2 v ( 1 − v 2 ) 2 ( 1 − v 2 ) . x\frac{dv}{dx}=\frac{-v(3v^2-5)-2v(1-v^2)}{2(1-v^2)}. x d x d v = 2 ( 1 − v 2 ) − v ( 3 v 2 − 5 ) − 2 v ( 1 − v 2 ) .
Simplify numerator:
− v ( 3 v 2 − 5 ) − 2 v ( 1 − v 2 ) = − 3 v 3 + 5 v − 2 v + 2 v 3 = − v 3 + 3 v = v ( 3 − v 2 ) . -v(3v^2-5)-2v(1-v^2)=-3v^3+5v-2v+2v^3=-v^3+3v=v(3-v^2). − v ( 3 v 2 − 5 ) − 2 v ( 1 − v 2 ) = − 3 v 3 + 5 v − 2 v + 2 v 3 = − v 3 + 3 v = v ( 3 − v 2 ) .
So
x d v d x = v ( 3 − v 2 ) 2 ( 1 − v 2 ) . x\frac{dv}{dx}=\frac{v(3-v^2)}{2(1-v^2)}. x d x d v = 2 ( 1 − v 2 ) v ( 3 − v 2 ) .
Thus,
2 ( 1 − v 2 ) v ( 3 − v 2 ) d v = d x x . \frac{2(1-v^2)}{v(3-v^2)}\,dv=\frac{dx}{x}. v ( 3 − v 2 ) 2 ( 1 − v 2 ) d v = x d x .
Integrate
We need to integrate
∫ 2 ( 1 − v 2 ) v ( 3 − v 2 ) d v . \int \frac{2(1-v^2)}{v(3-v^2)}\,dv. ∫ v ( 3 − v 2 ) 2 ( 1 − v 2 ) d v . 2 ( 1 − v 2 ) v ( 3 − v 2 ) = A v + B v + C 3 − v 2 . \frac{2(1-v^2)}{v(3-v^2)}=\frac{A}{v}+\frac{Bv+C}{3-v^2}. v ( 3 − v 2 ) 2 ( 1 − v 2 ) = v A + 3 − v 2 B v + C .
So
2 ( 1 − v 2 ) = A ( 3 − v 2 ) + v ( B v + C ) . 2(1-v^2)=A(3-v^2)+v(Bv+C). 2 ( 1 − v 2 ) = A ( 3 − v 2 ) + v ( B v + C ) .
Expand:
2 − 2 v 2 = 3 A − A v 2 + B v 2 + C v . 2-2v^2=3A-A v^2+Bv^2+Cv. 2 − 2 v 2 = 3 A − A v 2 + B v 2 + C v .
Compare coefficients:
constant: 3 A = 2 ⇒ A = 2 3 3A=2 \Rightarrow A=\frac23 3 A = 2 ⇒ A = 3 2
v v v C = 0 C=0 C = 0 v 2 v^2 v 2 − A + B = − 2 ⇒ − 2 3 + B = − 2 ⇒ B = − 4 3 -A+B=-2 \Rightarrow -\frac23+B=-2 \Rightarrow B=-\frac43 − A + B = − 2 ⇒ − 3 2 + B = − 2 ⇒ B = − 3 4
Hence
2 ( 1 − v 2 ) v ( 3 − v 2 ) = 2 3 v − 4 v 3 ( 3 − v 2 ) . \frac{2(1-v^2)}{v(3-v^2)}=\frac{2}{3v}-\frac{4v}{3(3-v^2)}. v ( 3 − v 2 ) 2 ( 1 − v 2 ) = 3 v 2 − 3 ( 3 − v 2 ) 4 v .
Therefore,
∫ 2 ( 1 − v 2 ) v ( 3 − v 2 ) d v = 2 3 ∫ d v v − 4 3 ∫ v 3 − v 2 d v . \int \frac{2(1-v^2)}{v(3-v^2)}dv=\frac23\int \frac{dv}{v}-\frac43\int \frac{v}{3-v^2}dv. ∫ v ( 3 − v 2 ) 2 ( 1 − v 2 ) d v = 3 2 ∫ v d v − 3 4 ∫ 3 − v 2 v d v .
For the second integral, let
u = 3 − v 2 , d u = − 2 v d v ⇒ v d v = − 1 2 d u . u=3-v^2, \quad du=-2v\,dv \Rightarrow v\,dv=-\frac12 du. u = 3 − v 2 , d u = − 2 v d v ⇒ v d v = − 2 1 d u .
Then
− 4 3 ∫ v 3 − v 2 d v = − 4 3 ( − 1 2 ∫ d u u ) = 2 3 ln ∣ u ∣ = 2 3 ln ∣ 3 − v 2 ∣ . -\frac43\int \frac{v}{3-v^2}dv=-\frac43\left(-\frac12\int \frac{du}{u}\right)=\frac23\ln|u|=\frac23\ln|3-v^2|. − 3 4 ∫ 3 − v 2 v d v = − 3 4 ( − 2 1 ∫ u d u ) = 3 2 ln ∣ u ∣ = 3 2 ln ∣3 − v 2 ∣.
So overall,
∫ 2 ( 1 − v 2 ) v ( 3 − v 2 ) d v = 2 3 ln ∣ v ∣ + 2 3 ln ∣ 3 − v 2 ∣ . \int \frac{2(1-v^2)}{v(3-v^2)}dv=\frac23\ln|v|+\frac23\ln|3-v^2|. ∫ v ( 3 − v 2 ) 2 ( 1 − v 2 ) d v = 3 2 ln ∣ v ∣ + 3 2 ln ∣3 − v 2 ∣.
Thus,
2 3 ln ∣ v ( 3 − v 2 ) ∣ = ln ∣ x ∣ + C . \frac23\ln|v(3-v^2)|=\ln|x|+C. 3 2 ln ∣ v ( 3 − v 2 ) ∣ = ln ∣ x ∣ + C .
Multiply by 3 2 \frac32 2 3 ln ∣ v ( 3 − v 2 ) ∣ = 3 2 ln ∣ x ∣ + C 1 . \ln|v(3-v^2)|=\frac32\ln|x|+C_1. ln ∣ v ( 3 − v 2 ) ∣ = 2 3 ln ∣ x ∣ + C 1 .
Hence,
v ( 3 − v 2 ) = C x 3 / 2 . v(3-v^2)=C x^{3/2}. v ( 3 − v 2 ) = C x 3/2 .
Return to x , y x,y x , y
Since
v = y x , v=\frac{y}{x}, v = x y , y x ( 3 − y 2 x 2 ) = C x 3 / 2 . \frac{y}{x}\left(3-\frac{y^2}{x^2}\right)=Cx^{3/2}. x y ( 3 − x 2 y 2 ) = C x 3/2 .
Simplify:
y ( 3 x 2 − y 2 ) x 3 = C x 3 / 2 . \frac{y(3x^2-y^2)}{x^3}=Cx^{3/2}. x 3 y ( 3 x 2 − y 2 ) = C x 3/2 .
So
y ( 3 x 2 − y 2 ) = C x 9 / 2 . y(3x^2-y^2)=C x^{9/2}. y ( 3 x 2 − y 2 ) = C x 9/2 .
That is,
3 x 2 y − y 3 = C x 9 / 2 . 3x^2y-y^3=Cx^{9/2}. 3 x 2 y − y 3 = C x 9/2 .
Or equivalently,
y 3 − 3 x 2 y = − C x 9 / 2 . y^3-3x^2y=-Cx^{9/2}. y 3 − 3 x 2 y = − C x 9/2 .
Let the constant be K K K y 3 − 3 x 2 y = K x 9 / 2 . y^3-3x^2y=Kx^{9/2}. y 3 − 3 x 2 y = K x 9/2 .
Use initial condition
Given y ( 1 ) = 1 y(1)=1 y ( 1 ) = 1 1 3 − 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) = K ( 1 ) 9 / 2 1^3-3(1)^2(1)=K(1)^{9/2} 1 3 − 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) = K ( 1 ) 9/2 1 − 3 = K 1-3=K 1 − 3 = K K = − 2. K=-2. K = − 2.
Hence the solution satisfies
y 3 − 3 x 2 y = − 2 x 9 / 2 . y^3-3x^2y=-2x^{9/2}. y 3 − 3 x 2 y = − 2 x 9/2 .
Find y ( 2 ) y(2) y ( 2 )
At x = 2 x=2 x = 2 y ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) 2 y ( 2 ) = − 2 ⋅ 2 9 / 2 . y(2)^3-3(2)^2y(2)=-2\cdot 2^{9/2}. y ( 2 ) 3 − 3 ( 2 ) 2 y ( 2 ) = − 2 ⋅ 2 9/2 .
So
y ( 2 ) 3 − 12 y ( 2 ) = − 2 ⋅ 2 4 ⋅ 2 1 / 2 = − 32 2 . y(2)^3-12y(2)=-2\cdot 2^{4}\cdot 2^{1/2}=-32\sqrt{2}. y ( 2 ) 3 − 12 y ( 2 ) = − 2 ⋅ 2 4 ⋅ 2 1/2 = − 32 2 .
Therefore,
∣ y ( 2 ) 3 − 12 y ( 2 ) ∣ = 32 2 . \left|y(2)^3-12y(2)\right|=32\sqrt{2}. y ( 2 ) 3 − 12 y ( 2 ) = 32 2 .
Compare with options
The value is
32 2 , 32\sqrt{2}, 32 2 , Option D .
Verification with stored answer
Stored correct answer: D
Our derived answer: D
So they agree.