Write the differential equation in standard form
Given
( x − y 2 ) d x + y ( 5 x + y 2 ) d y = 0. (x-y^2)\,dx+y(5x+y^2)\,dy=0. ( x − y 2 ) d x + y ( 5 x + y 2 ) d y = 0. Treat x x x y y y
( x − y 2 ) d x d y + y ( 5 x + y 2 ) = 0. (x-y^2)\frac{dx}{dy}+y(5x+y^2)=0. ( x − y 2 ) d y d x + y ( 5 x + y 2 ) = 0. So,
d x d y = − y ( 5 x + y 2 ) x − y 2 . \frac{dx}{dy}=-\frac{y(5x+y^2)}{x-y^2}. d y d x = − x − y 2 y ( 5 x + y 2 ) . This is not directly linear, so we look for a substitution.
Use the substitution x = v y 2 x=v y^2 x = v y 2
Let
x = v y 2 . x=v y^2. x = v y 2 . Then
d x d y = y 2 d v d y + 2 v y . \frac{dx}{dy}=y^2\frac{dv}{dy}+2vy. d y d x = y 2 d y d v + 2 v y . Now substitute into the equation:
( v y 2 − y 2 ) ( y 2 d v d y + 2 v y ) + y ( 5 v y 2 + y 2 ) = 0. (vy^2-y^2)\left(y^2\frac{dv}{dy}+2vy\right)+y\bigl(5vy^2+y^2\bigr)=0. ( v y 2 − y 2 ) ( y 2 d y d v + 2 v y ) + y ( 5 v y 2 + y 2 ) = 0. But it is easier to substitute into
d x d y = − y ( 5 x + y 2 ) x − y 2 . \frac{dx}{dy}=-\frac{y(5x+y^2)}{x-y^2}. d y d x = − x − y 2 y ( 5 x + y 2 ) . Using x = v y 2 x=vy^2 x = v y 2
y 2 d v d y + 2 v y = − y ( 5 v y 2 + y 2 ) v y 2 − y 2 . y^2\frac{dv}{dy}+2vy=-\frac{y(5vy^2+y^2)}{vy^2-y^2}. y 2 d y d v + 2 v y = − v y 2 − y 2 y ( 5 v y 2 + y 2 ) . Simplify:
y 2 d v d y + 2 v y = − y 3 ( 5 v + 1 ) y 2 ( v − 1 ) = − y 5 v + 1 v − 1 . y^2\frac{dv}{dy}+2vy=-\frac{y^3(5v+1)}{y^2(v-1)}=-y\frac{5v+1}{v-1}. y 2 d y d v + 2 v y = − y 2 ( v − 1 ) y 3 ( 5 v + 1 ) = − y v − 1 5 v + 1 . Hence,
y d v d y + 2 v = − 5 v + 1 v − 1 . y\frac{dv}{dy}+2v=-\frac{5v+1}{v-1}. y d y d v + 2 v = − v − 1 5 v + 1 . So,
y d v d y = − 5 v + 1 v − 1 − 2 v . y\frac{dv}{dy}=-\frac{5v+1}{v-1}-2v. y d y d v = − v − 1 5 v + 1 − 2 v . Take LCM:
y d v d y = − 5 v + 1 + 2 v ( v − 1 ) v − 1 = − 2 v 2 + 3 v + 1 v − 1 . y\frac{dv}{dy}=-\frac{5v+1+2v(v-1)}{v-1}
=-\frac{2v^2+3v+1}{v-1}. y d y d v = − v − 1 5 v + 1 + 2 v ( v − 1 ) = − v − 1 2 v 2 + 3 v + 1 . Factor the numerator:
2 v 2 + 3 v + 1 = ( 2 v + 1 ) ( v + 1 ) . 2v^2+3v+1=(2v+1)(v+1). 2 v 2 + 3 v + 1 = ( 2 v + 1 ) ( v + 1 ) . Therefore,
y d v d y = − ( 2 v + 1 ) ( v + 1 ) v − 1 . y\frac{dv}{dy}=-\frac{(2v+1)(v+1)}{v-1}. y d y d v = − v − 1 ( 2 v + 1 ) ( v + 1 ) .
Separate variables
v − 1 ( 2 v + 1 ) ( v + 1 ) d v = − d y y . \frac{v-1}{(2v+1)(v+1)}\,dv=-\frac{dy}{y}. ( 2 v + 1 ) ( v + 1 ) v − 1 d v = − y d y . Now decompose into partial fractions:
v − 1 ( 2 v + 1 ) ( v + 1 ) = A 2 v + 1 + B v + 1 . \frac{v-1}{(2v+1)(v+1)}=\frac{A}{2v+1}+\frac{B}{v+1}. ( 2 v + 1 ) ( v + 1 ) v − 1 = 2 v + 1 A + v + 1 B . So,
v − 1 = A ( v + 1 ) + B ( 2 v + 1 ) . v-1=A(v+1)+B(2v+1). v − 1 = A ( v + 1 ) + B ( 2 v + 1 ) . Comparing coefficients:
A + 2 B = 1 , A + B = − 1. A+2B=1,\qquad A+B=-1. A + 2 B = 1 , A + B = − 1. Solving,
B = 2 , A = − 3. B=2,\qquad A=-3. B = 2 , A = − 3. Thus,
v − 1 ( 2 v + 1 ) ( v + 1 ) = − 3 2 v + 1 + 2 v + 1 . \frac{v-1}{(2v+1)(v+1)}=-\frac{3}{2v+1}+\frac{2}{v+1}. ( 2 v + 1 ) ( v + 1 ) v − 1 = − 2 v + 1 3 + v + 1 2 . Hence,
∫ ( − 3 2 v + 1 + 2 v + 1 ) d v = ∫ − d y y . \int\left(-\frac{3}{2v+1}+\frac{2}{v+1}\right)dv=\int -\frac{dy}{y}. ∫ ( − 2 v + 1 3 + v + 1 2 ) d v = ∫ − y d y . Integrate:
− 3 2 ln ∣ 2 v + 1 ∣ + 2 ln ∣ v + 1 ∣ = − ln ∣ y ∣ + C . -\frac{3}{2}\ln|2v+1|+2\ln|v+1|=-\ln|y|+C. − 2 3 ln ∣2 v + 1∣ + 2 ln ∣ v + 1∣ = − ln ∣ y ∣ + C . Multiply by 2 2 2
− 3 ln ∣ 2 v + 1 ∣ + 4 ln ∣ v + 1 ∣ = − 2 ln ∣ y ∣ + C . -3\ln|2v+1|+4\ln|v+1|=-2\ln|y|+C. − 3 ln ∣2 v + 1∣ + 4 ln ∣ v + 1∣ = − 2 ln ∣ y ∣ + C . So,
ln ∣ ( v + 1 ) 4 y 2 ( 2 v + 1 ) 3 ∣ = C . \ln\left|\frac{(v+1)^4 y^2}{(2v+1)^3}\right|=C. ln ( 2 v + 1 ) 3 ( v + 1 ) 4 y 2 = C . Therefore,
( v + 1 ) 4 y 2 ( 2 v + 1 ) 3 = C . \frac{(v+1)^4 y^2}{(2v+1)^3}=C. ( 2 v + 1 ) 3 ( v + 1 ) 4 y 2 = C .
Back-substitute v = x y 2 v=\dfrac{x}{y^2} v = y 2 x
We have
v + 1 = x + y 2 y 2 , 2 v + 1 = 2 x + y 2 y 2 . v+1=\frac{x+y^2}{y^2},
\qquad 2v+1=\frac{2x+y^2}{y^2}. v + 1 = y 2 x + y 2 , 2 v + 1 = y 2 2 x + y 2 . Substitute into
( v + 1 ) 4 y 2 ( 2 v + 1 ) 3 = C : \frac{(v+1)^4 y^2}{(2v+1)^3}=C: ( 2 v + 1 ) 3 ( v + 1 ) 4 y 2 = C : ( x + y 2 y 2 ) 4 y 2 ( 2 x + y 2 y 2 ) 3 = C . \frac{\left(\frac{x+y^2}{y^2}\right)^4 y^2}{\left(\frac{2x+y^2}{y^2}\right)^3}=C. ( y 2 2 x + y 2 ) 3 ( y 2 x + y 2 ) 4 y 2 = C . Simplify:
( x + y 2 ) 4 ( 2 x + y 2 ) 3 = C . \frac{(x+y^2)^4}{(2x+y^2)^3}=C. ( 2 x + y 2 ) 3 ( x + y 2 ) 4 = C . Equivalently,
( x + y 2 ) 4 = C ∣ ( 2 x + y 2 ) 3 ∣ . (x+y^2)^4=C\,|(2x+y^2)^3|. ( x + y 2 ) 4 = C ∣ ( 2 x + y 2 ) 3 ∣. Since 2 x + y 2 = y 2 + 2 x 2x+y^2=y^2+2x 2 x + y 2 = y 2 + 2 x
( y 2 + x ) 4 = C ∣ ( y 2 + 2 x ) 3 ∣ . (y^2+x)^4=C\,|(y^2+2x)^3|. ( y 2 + x ) 4 = C ∣ ( y 2 + 2 x ) 3 ∣.
Match with the options
This matches Option A :
( y 2 + x ) 4 = C ∣ ( y 2 + 2 x ) 3 ∣ . (y^2+x)^4=C\left|(y^2+2x)^3\right|. ( y 2 + x ) 4 = C ( y 2 + 2 x ) 3 .
Conclusion
The general solution is:
( y 2 + x ) 4 = C ∣ ( y 2 + 2 x ) 3 ∣ \boxed{(y^2+x)^4=C\left|(y^2+2x)^3\right|} ( y 2 + x ) 4 = C ( y 2 + 2 x ) 3 So the correct option is A .