Write the system in matrix form
Given
2 x 1 − 2 x 2 + x 3 = λ x 1 , 2 x 1 − 3 x 2 + 2 x 3 = λ x 2 , − x 1 + 2 x 2 = λ x 3 . \begin{aligned}
2x_1-2x_2+x_3 &= \lambda x_1,\\
2x_1-3x_2+2x_3 &= \lambda x_2,\\
-x_1+2x_2 &= \lambda x_3.
\end{aligned} 2 x 1 − 2 x 2 + x 3 2 x 1 − 3 x 2 + 2 x 3 − x 1 + 2 x 2 = λ x 1 , = λ x 2 , = λ x 3 . Bring all terms to the left:
( 2 − λ ) x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0 , 2 x 1 + ( − 3 − λ ) x 2 + 2 x 3 = 0 , − x 1 + 2 x 2 − λ x 3 = 0. \begin{aligned}
(2-\lambda)x_1-2x_2+x_3 &=0,\\
2x_1+(-3-\lambda)x_2+2x_3 &=0,\\
-x_1+2x_2-\lambda x_3 &=0.
\end{aligned} ( 2 − λ ) x 1 − 2 x 2 + x 3 2 x 1 + ( − 3 − λ ) x 2 + 2 x 3 − x 1 + 2 x 2 − λ x 3 = 0 , = 0 , = 0. So the coefficient matrix is
A = ( 2 − λ − 2 1 2 − 3 − λ 2 − 1 2 − λ ) . A=\begin{pmatrix}
2-\lambda & -2 & 1\\
2 & -3-\lambda & 2\\
-1 & 2 & -\lambda
\end{pmatrix}. A = 2 − λ 2 − 1 − 2 − 3 − λ 2 1 2 − λ . For a non-trivial solution , we need
det ( A ) = 0. \det(A)=0. det ( A ) = 0.
Compute the determinant
det ( A ) = ∣ 2 − λ − 2 1 2 − 3 − λ 2 − 1 2 − λ ∣ . \det(A)=
\begin{vmatrix}
2-\lambda & -2 & 1\\
2 & -3-\lambda & 2\\
-1 & 2 & -\lambda
\end{vmatrix}. det ( A ) = 2 − λ 2 − 1 − 2 − 3 − λ 2 1 2 − λ . Expanding along the first row:
det ( A ) = ( 2 − λ ) ∣ − 3 − λ 2 2 − λ ∣ − ( − 2 ) ∣ 2 2 − 1 − λ ∣ + 1 ∣ 2 − 3 − λ − 1 2 ∣ . \det(A)=(2-\lambda)
\begin{vmatrix}
-3-\lambda & 2\\
2 & -\lambda
\end{vmatrix}
-(-2)
\begin{vmatrix}
2 & 2\\
-1 & -\lambda
\end{vmatrix}
+1\begin{vmatrix}
2 & -3-\lambda\\
-1 & 2
\end{vmatrix}. det ( A ) = ( 2 − λ ) − 3 − λ 2 2 − λ − ( − 2 ) 2 − 1 2 − λ + 1 2 − 1 − 3 − λ 2 . Now compute minors:
∣ − 3 − λ 2 2 − λ ∣ = ( − 3 − λ ) ( − λ ) − 4 = λ ( 3 + λ ) − 4 = λ 2 + 3 λ − 4. \begin{vmatrix}
-3-\lambda & 2\\
2 & -\lambda
\end{vmatrix}
=(-3-\lambda)(-\lambda)-4=\lambda(3+\lambda)-4=\lambda^2+3\lambda-4. − 3 − λ 2 2 − λ = ( − 3 − λ ) ( − λ ) − 4 = λ ( 3 + λ ) − 4 = λ 2 + 3 λ − 4. ∣ 2 2 − 1 − λ ∣ = 2 ( − λ ) − 2 ( − 1 ) = − 2 λ + 2 = 2 ( 1 − λ ) . \begin{vmatrix}
2 & 2\\
-1 & -\lambda
\end{vmatrix}
=2(-\lambda)-2(-1)= -2\lambda+2=2(1-\lambda). 2 − 1 2 − λ = 2 ( − λ ) − 2 ( − 1 ) = − 2 λ + 2 = 2 ( 1 − λ ) . ∣ 2 − 3 − λ − 1 2 ∣ = 4 − ( 3 + λ ) = 1 − λ . \begin{vmatrix}
2 & -3-\lambda\\
-1 & 2
\end{vmatrix}
=4-(3+\lambda)=1-\lambda. 2 − 1 − 3 − λ 2 = 4 − ( 3 + λ ) = 1 − λ . Therefore,
det ( A ) = ( 2 − λ ) ( λ 2 + 3 λ − 4 ) + 2 ⋅ 2 ( 1 − λ ) + ( 1 − λ ) . \det(A)=(2-\lambda)(\lambda^2+3\lambda-4)+2\cdot 2(1-\lambda)+(1-\lambda). det ( A ) = ( 2 − λ ) ( λ 2 + 3 λ − 4 ) + 2 ⋅ 2 ( 1 − λ ) + ( 1 − λ ) . So,
det ( A ) = ( 2 − λ ) ( λ 2 + 3 λ − 4 ) + 4 ( 1 − λ ) + ( 1 − λ ) . \det(A)=(2-\lambda)(\lambda^2+3\lambda-4)+4(1-\lambda)+(1-\lambda). det ( A ) = ( 2 − λ ) ( λ 2 + 3 λ − 4 ) + 4 ( 1 − λ ) + ( 1 − λ ) . det ( A ) = ( 2 − λ ) ( λ 2 + 3 λ − 4 ) + 5 ( 1 − λ ) . \det(A)=(2-\lambda)(\lambda^2+3\lambda-4)+5(1-\lambda). det ( A ) = ( 2 − λ ) ( λ 2 + 3 λ − 4 ) + 5 ( 1 − λ ) . Expand:
( 2 − λ ) ( λ 2 + 3 λ − 4 ) = 2 λ 2 + 6 λ − 8 − λ 3 − 3 λ 2 + 4 λ = − λ 3 − λ 2 + 10 λ − 8. (2-\lambda)(\lambda^2+3\lambda-4)=2\lambda^2+6\lambda-8-\lambda^3-3\lambda^2+4\lambda
=-\lambda^3-\lambda^2+10\lambda-8. ( 2 − λ ) ( λ 2 + 3 λ − 4 ) = 2 λ 2 + 6 λ − 8 − λ 3 − 3 λ 2 + 4 λ = − λ 3 − λ 2 + 10 λ − 8. Hence,
det ( A ) = − λ 3 − λ 2 + 10 λ − 8 + 5 − 5 λ = − λ 3 − λ 2 + 5 λ − 3. \det(A)=-\lambda^3-\lambda^2+10\lambda-8+5-5\lambda
=-\lambda^3-\lambda^2+5\lambda-3. det ( A ) = − λ 3 − λ 2 + 10 λ − 8 + 5 − 5 λ = − λ 3 − λ 2 + 5 λ − 3. Thus
det ( A ) = − ( λ 3 + λ 2 − 5 λ + 3 ) . \det(A)=-(\lambda^3+\lambda^2-5\lambda+3). det ( A ) = − ( λ 3 + λ 2 − 5 λ + 3 ) . We need
λ 3 + λ 2 − 5 λ + 3 = 0. \lambda^3+\lambda^2-5\lambda+3=0. λ 3 + λ 2 − 5 λ + 3 = 0.
Factor the cubic
Test rational roots ± 1 , ± 3 \pm 1, \pm 3 ± 1 , ± 3
For λ = 1 \lambda=1 λ = 1
1 + 1 − 5 + 3 = 0. 1+1-5+3=0. 1 + 1 − 5 + 3 = 0. So ( λ − 1 ) (\lambda-1) ( λ − 1 )
Divide:
λ 3 + λ 2 − 5 λ + 3 = ( λ − 1 ) ( λ 2 + 2 λ − 3 ) . \lambda^3+\lambda^2-5\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda^2+2\lambda-3). λ 3 + λ 2 − 5 λ + 3 = ( λ − 1 ) ( λ 2 + 2 λ − 3 ) . Now factor the quadratic:
λ 2 + 2 λ − 3 = ( λ + 3 ) ( λ − 1 ) . \lambda^2+2\lambda-3=(\lambda+3)(\lambda-1). λ 2 + 2 λ − 3 = ( λ + 3 ) ( λ − 1 ) . Hence
λ 3 + λ 2 − 5 λ + 3 = ( λ − 1 ) 2 ( λ + 3 ) . \lambda^3+\lambda^2-5\lambda+3=(\lambda-1)^2(\lambda+3). λ 3 + λ 2 − 5 λ + 3 = ( λ − 1 ) 2 ( λ + 3 ) . Therefore,
det ( A ) = 0 ⟺ ( λ − 1 ) 2 ( λ + 3 ) = 0. \det(A)=0 \iff (\lambda-1)^2(\lambda+3)=0. det ( A ) = 0 ⟺ ( λ − 1 ) 2 ( λ + 3 ) = 0. So the values of λ \lambda λ
λ = 1 , − 3. \lambda=1,\,-3. λ = 1 , − 3.
Count the distinct values
The set of all values of λ \lambda λ
{ 1 , − 3 } . \{1,-3\}. { 1 , − 3 } . This set contains two elements .
So the correct option is:
A \boxed{\text{A}} A
Comparison with stored answer
Stored correct answer: A
Our derived answer: A
They agree.